Question

【題目】如圖，點E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上一點，AC，BD交于點O，且∠EAF=45°，AE，AF分別交對角線BD于點M，N，則有以下結論：①∠AEB=∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN，以上結論中，正確的是______ .（請把正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，由旋轉的性質得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，由已知條件得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根據全等三角形的性質得到EH＝EF，∴∠AEB＝∠AEF，求得BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正確；根據三角形的外角的性質得到∠ANM＝∠AEB，于是得到∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正確；根據相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正確；由△AMN∽△BME，得到，推出△AMB∽△NME，根據相似三角形的性質得到∠AEN＝∠ABD＝45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根據勾股定理得到AE＝AN，根據相似三角形的性質得到EF＝MN，于是得到S△AEF＝2S△AMN故④正確．

如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，

由旋轉的性質得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠BAH＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°∠EAF＝45°，

∴∠EAH＝∠EAF＝45°，

在△AEF和△AEH中，

，

∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH＝EF，

∴∠AEB＝∠AEF，

∴BE＋BH＝BE＋DF＝EF，故②正確；

∵∠ANM＝∠ADB＋∠DAN＝45°＋∠DAN，

∠AEB＝90°∠BAE＝90°（∠HAB∠EAH）＝90°（45°∠EAH）＝45°＋∠EAH，

∴∠ANM＝∠AEB，

∴∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；故①正確；

∵AC⊥BD，

∴∠AOM＝∠ADF＝90°，

∵∠MAO＝45°∠NAO，∠DAF＝45°∠NAO，

∴△OAM∽△DAF，故③正確；

連接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME，

∴△AMN∽△BME，

∴，

∴，

∵∠AMB＝∠EMN，

∴△AMB∽△NME，

∴∠AEN＝∠ABD＝45°，

∵∠EAN＝45°，

∴∠NAE＝∠NEA＝45°，

∴△AEN是等腰直角三角形，

∴AE＝AN，

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME，

∴△AMN∽△AFE，

∴=，

∴EF＝MN，

∵AB＝AO，

∴S△AEF＝S△AHE＝HEAB＝EFAB＝MNAO＝2×MNAO＝2S△AMN．故④正確．

故答案為：①②③④．