Question

在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則有結論：
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC；
（Ⅰ）上面的結論即為著名的余弦定理，試用文字語言表述余弦定理：

 

；
試用余弦定理解答下面的問題（Ⅱ）：
（Ⅱ）過邊長為1的正三角形的中心O引兩條夾角為120°的射線，分別與正三角形的邊交于M、N兩點，試求線段MN長的取值范圍（借助圖解答）．

Answer 1

分析：（1）等號左邊是一邊的平方，等號右邊前兩項是其他兩邊的平方和減去2倍的這2邊與它們夾角余弦值的積．
（2）易得△CNO≌△AMO，那么可得到相對應的邊相等，利用（1）的結論在△MCN中表示出MN的值，利用二次函數求得最值，利用所給范圍得到相應的范圍值．

解答：解：（Ⅰ）三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．

（Ⅱ）如圖，設AM=x，則CN=x，MC=1-x，0≤x≤1，
在△MCN中，∠MCN=60°，
由余弦定理，得
MN=

(1-x)2+x2-2(1-x)•x•cos60°

，
=

3x2-3x+1

=

3(x- 1 2 )2+ 1 4

，
∵0≤x≤1，
∴當x=

1

2

時，MN取最小值

1

2

，
當x=0，1時，MN取最大值1，
∴

1

2

≤MN≤1．

點評：應先找易表示出各邊的，所求線段所在的三角形，注意運用已得到的結論進行證明．