Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（0，4）且與x軸交于（-2，0），（2，0）．

（1）直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)解析式；
（2）如圖，將拋物線(xiàn)向右平移k個(gè)單位，設(shè)平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，與x軸的交點(diǎn)為A、B，與原拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為P．
①當(dāng)直線(xiàn)OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí)，求此時(shí)k的值；
②是否存在這樣的k值，使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線(xiàn)上？若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（0，4），
∴可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=ax²+4，
又∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2，0），
∴0=4a+4，解得a=-1，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=-x²+4；

（2）①如圖，連接CE，CD．
∵OD是⊙C的切線(xiàn)，∴CE⊥OD．
在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，
∴∠EDC=30°，
∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，
∴OC=

4 3

3

，
∴當(dāng)直線(xiàn)OD與以AB為直徑的圓相切時(shí)，k=OC=

4 3

3

；

②存在k=2

2

，能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線(xiàn)上．理由如下：
設(shè)拋物線(xiàn)y=-x²+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=-（x-k）²+4，它與y=-x²+4交于點(diǎn)P，
由-（x-k）²+4=-x²+4，解得x₁=

k

2

，x₂=0（不合題意舍去），
當(dāng)x=

k

2

時(shí)，y=-

1

4

k²+4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

k

2

，-

1

4

k²+4）．
設(shè)直線(xiàn)OD的解析式為y=mx，把D（k，4）代入，
得mk=4，解得m=

4

k

，
∴直線(xiàn)OD的解析式為y=

4

k

x，
若點(diǎn)P（

k

2

，-

1

4

k²+4）在直線(xiàn)y=

4

k

x上，得-

1

4

k²+4=

4

k

•

k

2

，
解得k=±2

2

（負(fù)值舍去），
∴當(dāng)k=2

2

時(shí)，O、P、D三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．