Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，D是BC的中點，點P從B出發，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA勻速向點A運動，點Q同時以1厘米/秒的速度從D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們的運動時間為t秒.

（1）若a＝2，那么t為何值時△BPQ與△BDA相似？

（2）已知M為AC上一點，若當t＝時，四邊形PQCM是平行四邊形，求這時點P的運動速度.

（3）在P、Q兩點運動過程中，要使線段PQ在某一時刻平分△ABD的面積，點P的運動速度應限制在什么范圍內？（提示：對于一元二次方程，有如下的結論：若x1x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝）

Answer 1

【答案】(1)當a＝2時，t＝秒或秒時，△BPQ與△BDA相似;(2)點P的速度是2.5厘米/秒;(3)點P的速度應大于或等于厘米/秒.

【解析】

（1）根據相似的性質，分情況討論當△BPQ∽△BDA時及當△BQP∽△BDA時，進行列式計算即可得解；

（2）根據△BPQ∽△BAC，由相似比即可求出P的速度；

（3）根據△BEP∽△BDA，進而求出和的面積表達式后即可得解.

（1）當a＝2時，BP＝2t，DQ＝1×t＝t，

∵D是BC中點，BC＝12，

∴BD＝DC＝6，

∴；

①當△BPQ∽△BDA時，如圖1，

則有，

∵BP＝2t，BD＝6，，BA＝10，

∴，

解得：；

②當△BQP∽△BDA時，如圖2，

則有，

∵BP＝2t，BD＝6，，BA＝10，

∴，

解得：；

∴當a＝2時，秒或秒時，△BPQ與△BDA相似；

（2）當t＝且四邊形PQCM是平行四邊形時，如圖3，

則有PQ∥AC，BP＝a，DQ＝1×＝，BQ＝，

∵PQ∥AC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴，

∵BP＝a，BA＝10，BQ＝，BC＝12，

∴，

解得：a＝2.5，

∴點P的速度是2.5厘米/秒；

（3）作PE⊥BC，垂足為E，如圖4，

∵AB＝AC，點D是BC的中點，

∴AD⊥BC，

∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝8，

∵PE⊥BC，AD⊥BC，

∴△BEP∽△BDA，

∴，

∵AD＝8，BP＝at，BA＝10，

∴，

∴，

∴，

∵線段PQ平分△ABD的面積，

∴，

∴，

整理得：，

由題可得：，

解得：，

此時，

∴方程有兩個小于6的正實根，

∴點P的速度應大于或等于厘米/秒.