Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°

（1）求證：AG=FG；

（2）如圖2延長FC、AE交于點M，連接DF、BM，若C為FM中點，BM=10，求FD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）過C點作CH⊥BF于H點，根據已知條件可證明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因為BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，進而證明AG=FG；

（2）過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q，根據全等三角形的性質和等腰三角形的性質即可求出FD的長．

試題解析：（1）過C點作CH⊥BF于H點，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）∵CH⊥GF，

∴CH∥GM，

∵C為FM的中點，

∴CH=GM，

∴BG=GM，

∵BM=10，

∴BG=2，GM=4，

∴AG=4，AB=10，

∴HF=2，

∴CF=2×=2，

∴CM=2，

過B點作BK⊥CM于K，

∵CK=CM=CF=，

∴BK=3，

過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3，

DQ=CK=，

∴QF=3-2=，

∴DF==2．