Question

【題目】如圖1，，，，分別是四邊形各邊的中點，且，，．

（1）試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；

（2）如圖2，依次取，，，的中點，，，，再依次取，，，的中點，，，……以此類推，取，，，的中點，，，，根據信息填空：

①四邊形的面積是__________；

②若四邊形的面積為，則________；

③試用表示四邊形的面積___________．

Answer 1

【答案】（1）矩形，見解析；（2）①15，②5，③

【解析】

（1）根據中位線定理，得出四邊形是平行四邊形，再根據可判斷四邊形為矩形；

（2）①根據題意算出A1B1=3，A1D1=5，可得四邊形的面積；

②根據題意算出A2D2= B2C2= C2D2=B2A2=，可得四邊形為菱形，得出四邊形的面積，以此類推得出=，令=，解出n即可；

③由②可得結果；

解：（1）四邊形是矩形，

證明：∵，，，分別是四邊形各邊的中點，

∴，，

∴，

同理可得，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵，
易得，

∴四邊形是矩形；

（2）①由題意可知：A1B1=AC=3，A1D1=BD=5，

四邊形的面積=3×5=15；

②由構圖過程可得：A2D2=B2C2=B1D1==，C2D2=B2A2=A1C1==，

可知四邊形為菱形，

∴===；

同理可求：=，=，…，=，

故當四邊形的面積為時，=，

解得：n=5；

③由②可知：用表示四邊形的面積為.