Question

【題目】①已知：△ABC中，BC=m，∠A=60°．問滿足此條件的三角形有多少個？它們的最大面積存在嗎？若存在求出最大面積，并回答此時三角形的形狀；若不存在，請說明理由．

②有一個正方形的養魚塘，四個角各有一棵大樹．生產隊設想把魚塘擴大，使它成為一個面積最大的正方形，而又不把樹挖掉，這一設想能否實現？若能，請你設計畫出圖形，并證明此時面積最大．若不能，請說明理由．

③上問題推廣，有一個正五邊形的養魚塘，五個角各有一棵樹，要擴大使它成為面積最大的正五邊形，而又不把樹挖掉，可以嗎？畫圖說明．

Answer 1

【答案】

①見解析；②見解析；③見解析.

【解析】試題分析：①根據A一定在以BC為弦，BC一側，所對的圓周角是60°的圓上，當AB=AC時，△ABC的面積最大，據此即可求解；

②過各頂點作對應的對角線的垂線，各條線組成的四邊形，就是所求的四邊形；

③過各個頂點作正五邊形，使各頂點時正五邊形的各邊的中點．

試題解析：①在△ABC中，BC=m，∠A=60°滿足此條件的三角形有無數個；

如圖，作△ABC的外接圓，

當A是優弧BAC的中點時，BC邊上的高最大，因而面積最大，

最大面積為S=BCAD=mm=m2，

如下圖，此時三角形為等邊三角形；

②能夠實現設想，設計圖形如下：

③可以，設計圖形如下：