Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F．

（1）求a、c的值；

（2）連接OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a＝，c＝2；（2）△OEF為等腰三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等腰直角三角形可以得出 OA＝OB＝OC＝c，從而得出S△ABC＝,據(jù)此求出c的值，然后進(jìn)一步得出C點(diǎn)坐標(biāo)，接著將其代入解析式求出的值即可；

（2）設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位，則向上平移m個(gè)單位，則點(diǎn)F（m，m+2），則新拋物線的表達(dá)式為：y＝(xm)2+m+2，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式進(jìn)一步分析證明即可．

（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA＝OB＝OC＝c，

故S△ABC＝,

解得：或（舍去），

故點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為：（2，0），

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝x2+2并解得：

，

故，c＝2；

（2）根據(jù)題意，設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位，則向上平移m個(gè)單位，

則點(diǎn)F（m，m+2），

∴新拋物線的表達(dá)式為：y＝(xm)2+m+2，

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式得：0＝(2m)2+m+2

解得：m＝0（舍去）或6，

則函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝m＝6，

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為：（6，8），則點(diǎn)E（10，0），而點(diǎn)O（0，0），

則OF2＝，OE2＝100，EF2＝，

即OF＝OE，

∴△OEF為等腰三角形．