Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D是邊AC上一點，連接BD，使∠A=2∠1，點E是BC上的一點，以BE為直徑的⊙O經過點D．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OD=OB，

∴∠1=∠ODB，

∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，

而∠A=2∠1，

∴∠DOC=∠A，

∵∠A+∠C=90°，

∴∠DOC+∠C=90°，

∴OD⊥DC，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：∵∠A=60°，

∴∠C=30°，∠DOC=60°，

在Rt△DOC中，OD=2，

∴OC=2OD=4，BC=OB+OC=6

在Rt△ABC中，AB=BCtan30°=2 ．

【解析】（1）首先依據直角三角形的性質可得到∠A+∠C=90°，然后由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據三角形外角性質得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1=∠A，故此可得到∠DOC+∠C=90°，最后，根據切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）由直角三角形的性質可得到∠C=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CD=2OD，最后，在Rt△ABC中，根據AB=BCtan30°計算即可.