Question

【題目】有一個n位自然數能被x0整除，依次輪換個位數字得到的新數能被x0+1整除，再依次輪換個位數字得到的新數能被x0+2整除，按此規律輪換后， 能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，則稱這個n位數是x0的一個“輪換數”．

例如：60能被5整除，06能被6整除，則稱兩位數60是5的一個“輪換數”；

再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，則稱三位數324是2個一個“輪換數”．

（1）若一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍，求證這個兩位自然數一定是“輪換數”．

（2）若三位自然數是3的一個“輪換數”，其中a=2，求這個三位自然數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 201，207，255

【解析】

試題（1）先設出兩位自然數的十位數字，表示出這個兩位自然數，和輪換兩位自然數即可；
（2）先表示出三位自然數和輪換三位自然數，再根據能被5整除，得出b的可能值，進而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

試題解析：

（1）設兩位自然數的十位數字為x，則個位數字為2x，

∴這個兩位自然數是10x+2x=12x，

∴這個兩位自然數是12x能被6整除，

∵依次輪換個位數字得到的兩位自然數為10×2x+x=21x

∴輪換個位數字得到的兩位自然數為21x能被7整除，

∴一個兩位自然數的個位數字是十位數字的2倍，這個兩位自然數一定是“輪換數”．

（2）∵三位自然數是3的一個“輪換數”，且a=2，

∴100a+10b+c能被3整除，

即：10b+c+200能被3整除，

第一次輪換得到的三位自然數是100b+10c+a能被4整除，

即100b+10c+2能被4整除，

第二次輪換得到的三位自然數是100c+10a+b能被5整除，

即100c+b+20能被5整除，

∵100c+b+20能被5整除，

∴b+20的個位數字不是0，便是5，

∴b=0或b=5，

當b=0時，

∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+2能被4整除，

∴c只能是1，3，5，7，9；

∴這個三位自然數可能是為201，203，205，207，209，

而203，205，209不能被3整除，

∴這個三位自然數為201，207，

當b=5時，∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+502能被4整除，

∴c只能是1，5，7，9；

∴這個三位自然數可能是為251，255，257，259，

而251，257，259不能被3整除，

∴這個三位自然數為255，

即這個三位自然數為201，207，255．