Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．

⑴當x為何值時，△APD是等腰三角形?

⑵若設BE=y，求y關于x的函數關系式；

⑶若BC的長可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C?若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．

Answer 1

【答案】．

【解析】

⑴解：過D點作DH⊥AB于H，

則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6 ∴AH=2，AD=2…………………1分

∵AP=x， ∴PH=x－2，

情況①：當AP=AD時，即x=2……………………………2分

情況②：當AD=PD時，則AH=PH

∴2=x－2，解得x= 4………………………………………………………·3分

情況③：當AP=PD時，

則Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5…………………………………4分

∵2<x<8，∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形…………………………5分

⑵易證：△DPH∽△PEB ………………………………………………………………7分

∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4………8分

⑶若存在，則此時BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0

∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程無解，……………………………………………9分

∴不存在點P，使得PQ經過點C……………………………………………………10分

當BC滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過點C……………………………12分

1、過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當AP=AD時，x=AP=AD，②當AD=PD時，有AH=PH，故x=AH+PH，③當AP=PD時，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．

2、易證：△DPH∽△PEB，即，故可求得y與x的關系式．

3、利用△DPH∽△PEB，得出，進而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．