Question

已知四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC于點M、N、E、F，設a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列問題：
（1）當四邊形ABCD是矩形時，見圖1，請判斷a與b的大小關系，并說明理由；
（2）當四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A為銳角時，見圖2，（1）中的結論是否成立？并說明理由；
（3）在（2）的條件下，設

BP

PD

=k，是否存在這樣的實數k，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

？若存在，請求出滿足條件的所有k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當四邊形ABCD是矩形時，對角線BD把矩形ABCD分成兩個全等三角形，即S_△ABD=S_△BCD，又MN∥AD，EF∥CD，所以四邊形MBFP和四邊形PFCN均為矩形，即S_△MBF=S_△BFP，S_△EPD=S_△NPD，根據求差法，可知S_{四邊形AMPE}=S_{四邊形PFCNA}，即a=b；
（2）（1）的方法同時也適用于第二問；
（3）由（1）（2）可知，任意一條過平行四邊形對角線交點的直線將把平行四邊形分成面積相等的兩部分，利用面積之間的關系即可解答．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴MN∥AD，EF∥CD，
∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形，
∴a=PM•PE=S_矩形PEAM，b=PN•PF=S_矩形PNCF，
又∵BD是對角線，
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，
∵S_矩形PEAM=S_△BDA-S_△PMB-S_△PDE，
S_矩形PNCF=S_△DBC-S_△BFP-S_△DPN，
∴S_矩形PEAM=S_矩形PNCF，
∴a=b；

（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四邊形，MN∥AD，EF∥CD
∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形
根據（1）可證S_{平行四邊形PEAM}=S_{平行四邊形PNCF}，
過E作EH⊥MN于點H，
則sin∠MPE=

EH

PE

EH=PE•sin∠MPE，
∴S_?PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE，
同理可得S_?PNCF=PN•PFsin∠FPN，
又∵∠MPE=∠FPN=∠A，
∴sin∠MPE=sin∠FPN，
∴PM•PE=PN•PF，
即a=b；

（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知S_?PEAM=AE•AMsinA，S_?ABCD=AD•ABsinA，
∴

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

2S平行四邊形PEAM

2S△ABD

=

2S平行四邊形PEAM

S平行四邊形ABCD

=

2AE•AMsinA

AD•ABsinA

=2•

AE

AD

•

AM

AB

，
又∵

BP

PD

=k，即

BP

BD

=

k

k+1

，

PD

BD

=

1

k+1

，
而

AE

AD

=

BP

BD

=

k

k+1

，

AM

AB

=

PD

BD

=

1

k+1

，
∴2×

k

k+1

×

1

k+1

=

4

9

即2k²-5k+2=0，
∴k₁=2，k2=

1

2

．
故存在實數k=2或

1

2

，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

；
方法2：存在，理由如下：
連接AP，設△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，即

S1

S2

=

BM

AM

=

BP

PD

，

S3

S4

=

AE

DE

=

BP

PD

（8分）
即

S1=kS2 S3=kS4 S2=S3

∴

S1=k2S4 S2=S3=kS4

∴

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

S2+S3

S1+S2+S3+S4

=

4

9

即

2kS4

(k2+2k+1)S4

=

4

9

∴2k²-5k+2=0（9分）
∴k₁=2，k2=

1

2

故存在實數k=2或

1

2

，使得

S平行四邊形PEAM

S△ABD

=

4

9

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，在實際中的應用，難易程度適中．