Question

【題目】在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是 BC 邊上的中線，點 E 為 AD 的中點，過點 A 作 AF∥BC交 BE 的延長線于點 F，連接 CF．

（1）求證：AD＝AF；

（2）填空：①當∠ACB＝ °時，四邊形 ADCF 為正方形；

②連接 DF，當∠ACB＝ °時，四邊形 ABDF 為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①45；②30

【解析】

(1)根據直角三角形的性質得到AD=CD=BD，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；
(2)①根據菱形的判定定理得到四邊形ADCF是菱形，求得∠DCF=90°，于是得到結論；
②根據平行四邊形的性質得到CD=CF，推出△DCF是等邊三角形，得到DF=BD，于是得到結論．

(1)∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，
∵AD=CD=BD，
∵點E為AD的中點，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=BD，
∴AD=AF；
(2)①當∠ACB=45°時，四邊形ADCF為正方形；
∵AD=AF，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四邊形ADCF是菱形，
要使四邊形ADCF是正方形，

則∠DCF=90°，

∴∠ACD=∠ACF=45°；
②當∠ACB=30°時，四邊形ABDF為菱形；

由(1)得AF=BD，AF∥BC，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，
要使四邊形ABDF為菱形，

∴AB=BD，
又∵AD =BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ACB=30°．
故答案為：45，30．