Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F為AD的中點，CE⊥AB于E，設∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）當α=60°時，求CE的長；

（2）當60°＜α＜90°時，

①是否存在正整數k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

②連接CF，當CE2﹣CF2取最大值時，求tan∠DCF的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：

連接CF并延長交BA的延長線于點G，

∵F為AD的中點，∴AF=FD。

在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。

在△AFG和△CFD中，

∵∠G=∠DCF， ∠G=∠DCF，AF=FD，

∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。

∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。

∵AB=5，BC=10，點F是AD的中點，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。

∴∠AFG=∠G。

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整數k=3，使得∠EFD=3∠AEF。

②設BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。

∵CF=GF（①中已證），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。

∴當x=，即點E是AB的中點時，CE2﹣CF2取最大值。

此時，EG=10﹣x=10﹣，CE=，

∴。

【解析】銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，平行四邊形的性質，對頂角的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線性質，等腰三角形的性質，二次函數的最值，勾股定理。

（1）利用60°角的正弦值列式計算即可得解。

（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解。

②設BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據二次函數的最值問題解答。