Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點與y軸交于點C，⊙C的半徑為，P為⊙C上一動點．

（1）點B，C的坐標分別為B（ ），C（ ）；

（2）當P點運動到（-1，-2）時，判斷PB與⊙C的位置關系，并說出理由；

（3）是否存在點P，使得△PBC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）連接PB，若E為PB的中點，連接OE，則OE的最大值= ．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0，-4）；（2）相切，理由詳見解析；（3）存在，P1（-1，-2）或P2（，）；（4）

【解析】

（1）在拋物線中令y=0即可求出點B的坐標，令x=0即可求出點C的坐標；

（2）分別求出三邊的長度即可得出答案；

（3）根據勾股定理求出BC和的長度，過作⊥x軸于點E，⊥y軸于點F，根據相似三角形的性質得出，設，即可得出BE和CF的長度，解出x的值即可得出P2的坐標，同理即可得出P1的坐標；

（4）根據中位線定理AP最大時，OE的值最大．

解：（1）在中，令 y=0， 則x=3 或-3，令 x=0， 則y=-4

故B（3，0），C（0，-4）；

（2）當P點運動到（-1，-2）時，PB與⊙C相切；

此時PB2=20，PC2=5，BC2=25，可得PB2+PC2=BC2，

從而CP⊥PB，∴PB與⊙C相切．

（3）存在點P，使得△PBC為直角三角形．

①當PB與圓O相切時，△PBC是直角三角形，如圖，連接BC

∵OB=3，OC=4

∴BC=5

∵，

∴

過作⊥x軸于點E，⊥y軸于點F

則△∽△，四邊形是矩形

∴

設，

∴BE=3-x，CF=2x-4

∴

解得：

∴，

∴P2（，）

②同理求得：P1（-1，-2）

綜上所述，點P的坐標為：P1（-1，-2）或P2（，）；

（4）

如圖∵E為PB的中點，OE是△BAP的中位線

∴OE=AP

∵

∴