Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF．給出以下四個結論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S_△ABC ="5" S_△BDF，其中正確的結論序號是_____________．

Answer 1

①③.

解析試題分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，
∴，∵BA=BC，∴，故①正確；∵∠ABC=90°，BG⊥CD∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，點D是AB的中點，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵，∴FG=FB，故②錯誤；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正確；∵BD=AB，AF=AC，∴S_△ABC=6S_△BDF，故④錯誤．故答案為：①③．
考點：1.相似三角形的判定與性質；2. 勾股定理；3. 等腰直角三角形.