Question

如圖，矩形ABCD的邊長AB=4，BC=8，點E在BC上由B向C運動，點F在CD上以每秒1個單位的速度由C向D運動，已知E、F兩點同時運動，且點E的速度是點F的2倍．設運動時間為t，解答下列問題：
（1）設△AEF的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（2）當線段EF與BD平行時，試求△AEF的面積，并確定點E、F的位置；
（3）是否存在t值，使△AEF的面積為△ABE與△ECF的面積和的3倍？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由E和F的速度及時間t，表示出BE和CF的長，進而表示出EC和DF的長，然后由矩形ABCD的面積減去三角形ABE的面積減去三角形EFC的面積減去三角形ADF的面積，即可表示出S與t的函數關系式；
（2）若EF與BD平行，得到兩對同位角相等，從而得到三角形ECF與三角形BCD相似，根據相似得比例列出關于t的方程，求出方程的解可得出t的值，確定出E和F的位置，并把此時求出的t代入第一問表示出的函數關系式中即可求出此時三角形AEF的面積；
（3）存在，理由為：由AB及BE的長，利用三角形的面積公式表示出三角形ABE的面積，同理表示出三角形ECF的面積，把求出的兩面積相加乘以3，與第一問表示出的三角形AEF面積相等，列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：（1）由運動的時間t得到CF=t，BE=2t，
又AB=4，BC=8，
則△AEF的面積為S=S_矩形ABCD-S_△ABE-S_△EFC-S_△ADF
=4×8-

1

2

×4×2t-

1

2

×（8-2t）×t-

1

2

×8×（4-t）
=t²-4t+16；

（2）若EF∥BD，∴△ECF∽△BCD，
∴

CE

CB

=

CF

CD

，即

8-2t

8

=

t

4

，
解得：t=2，
此時E為BC的中點，F為DC的中點，
此時△AEF的面積S=t²-4t+16=4-8+16=12；

（3）存在，理由為：
∵S_△ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

×4×2t=4t，S_△EFC=

1

2

EC•CF=

1

2

×（8-2t）×t=4t-t²，
根據題意得S=3（S_△ABE+S_△EFC），即t²-4t+16=3（4t+4t-t²）
解得：t=

7+ 33

2

（舍去），t=

7- 33

2

．
則存在t=

7- 33

2

秒時，△AEF的面積為△ABE與△ECF的面積和的3倍．

點評：此題考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，以及一元二次方程的應用，屬于動點型題，解答本題關鍵是利用間接法表示三角形AEF的面積，即利用矩形的面積三個三角形的面積可得出三角形AEF的面積，第三問是探究存在條件型題，解答此類題常常先假設結論成立，從假設出發，看是否導致矛盾，還是與已知條件相符，從而確定探究的結論是否正確．