Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，以為邊在直線左下方作菱形，且點在軸負半軸上，點關于直線的對稱點為，以，為鄰邊構造矩形，交軸的正半軸于點．

（1）求證：；

（2）當時，

①求的長，

②在菱形的邊上取一點，在矩形的邊上取一點，若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點的坐標．

（3）連結，記的面積為，的面積為，若，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②點的坐標為或或或；（3）．

【解析】

（1）根據矩形性質和軸對稱性質可得，；

（2）①求出OA,OB，由勾股定理求出OG,可得AG;②根據菱形性質，分4種情況當點與點重合時，顯然滿足條件，此時；當點與點重合時，顯然滿足條件，此時；當點在上，在上時，直線的解析式為，直線的解析式為，設，由，可得P的坐標；當在上，在上時

由題意得：，求出，結合，求出PM，可得P的坐標;

（3）根據矩形性質和軸對稱性質得，故，記為，設，則，由，可得，求出，可得，由勾股定理可得，，，求出OB,得到B的坐標，再代入，可得k.

（1）證明：四邊形是矩形

又由對稱可得

∴

（2）解：當時，，

，

①設，則

由勾股定理可得，

解得，

②如圖，當點與點重合時，顯然滿足條件，此時

如圖，當點與點重合時，顯然滿足條件，此時

如圖，當點在上，在上時

點，，，

直線的解析式為

直線的解析式為

設

則，

解得

點坐標為

如圖，當在上，在上時

由題意得：

將代入

得

即

點坐標為

綜上所述，點的坐標為或或或

（3）如圖，四邊形是矩形，點和點關于直線對稱

，記為

設，則

由，可得

解得

由勾股定理可得，，

代入得