Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，AC，BD相交于點O．

（1）如圖1，AH⊥BC，求證：△ABH≌△ACH；

（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．

①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；

②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）①△AEF是等邊三角形，理由見解析；②

【解析】

試題分析：（1）由菱形的性質得到AB=AC，從而用HL判定出△ABH≌△ACH．

（2）由菱形的性質得到AB=AC，結合∠ABC=60°得到AC=AD，再判斷出△BAC≌△CAF，△AEB≌△EGC即可；

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且AC=2，∴AB=BC=2，

∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=2，

∵AH⊥BC，∴∠ABH=∠ACH=90°，在Rt△ABH和Rt△ACH中，，

∴△ABH≌△ACH（HL），

（2）①△AEF是等邊三角形，

理由：

∵四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°，

∵∠EAF=60°，∴∠EAC+∠BAE=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，

∴△BAC≌△CAF，∴AE=AF，又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形，

②∵△AEF和△ABC是等邊三角形，∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠GEC=120°，∴∠BAE=∠GEC，∴△AEB≌△EGC，

∴，又∵EC=BC=AB，∴CG=BE=BC=．