Question

【題目】如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，OA交⊙O于點C，過點C的切線交AB于點D．若∠BAO＝30°，CD＝2．

（1）求⊙O的半徑；

（2）若點P在上運動，設點P到直線BC的距離為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）⊙O的半徑為2；（2）y＝x+2（0≤x≤2+3）．

【解析】

（1）題干要求⊙O的半徑，做輔助線連結OB，利用AB是⊙O的切線，∠BAO＝30°，CD＝2．求出AB，進而OB＝AB，求出⊙O的半徑.

（2）題干要求y與x之間的函數關系式以及自變量x的取值范圍，尋找與x有關的條件，得到點P到直線BC的距離為x，分兩部分求出陰影部分的面積，進而得到y與x之間的函數關系式以及自變量x的取值范圍.

解：（1）連結OB，如圖，

∵AB、CD是⊙O的切線，

∴DB＝DC＝2，OB⊥AB，CD⊥OA，

∴∠ABO＝∠ACD＝90°，

∵∠BAO＝30°，

∴AD＝2CD＝2BD，

∴AD＝4，AB＝AD+BD＝6，

∴OB＝AB＝2，

即⊙O的半徑為2；

（2）∵∠BAO＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵點P到直線BC的距離為x，

∴△PBC的面積為×2×x＝x，

弓形BC的面積＝扇形COB的面積﹣△COB的面積

＝

＝2，

∴y＝x+2（0≤x≤2+3）．