Question

已知：在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O為坐標原點，OA所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△ABO沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處.

（1）求點C的坐標；（3分）

（2）若拋物線經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；（4分）

（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為很等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由. （5分）

 

Answer 1

（1）過點C作CH⊥軸，垂足為H

 ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2    ∴OB＝4，OA＝

 由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝

∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3    ∴C點坐標為（，3）   （3分）

（2）∵拋物線（≠0）經過C（，3）、A（，0）兩點

               ∴      解得：

    ∴此拋物線的解析式為：    （7分）

（3）存在.  因為的頂點坐標為（，3）即為點C，MP⊥軸，設垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝30⁰，所以ON＝ ，  ∴P（，）

        作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

         ∴ M（，），E（，）

         同理：Q（，），D（，1）

         要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

         即，解得：，（舍）

        ∴ P點坐標為（，）

∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，）      （12分）