Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值．
小聰同學的思路是：延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值；
（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明；
（3）若圖1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知小聰的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件；
（2）思路同上，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°-α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α）．

解答：解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，
∴△DPH≌△FGP，
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=

3

，
∴線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC，

PG

PC

=

3

；


（2）猜想：（1）中的結論沒有發生變化．
證明：如圖2，延長GP交AD于點H，連接CH，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBF=60°，
∴∠HDC=∠GBF，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠HCD=∠GCB
∴PG⊥PC（到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB
∴∠HCG=120°
∴∠GCP=60°
∴

PG

PC

=tan∠GCP=tan60°=

3

；

（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），
∴∠PCG=90°-α，
由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α），
∴

PG

PC

=tan（90°-α）．

點評：本題是一道探究性的幾何綜合題，主要考查菱形的性質，全等三角形的判定及三角函數的綜合運用．