Question

若是關于的一元二次方程的兩個根，則方程的兩個根和系數有如下關系：.  我們把它們稱為根與系數關系定理. 如果設二次函數的圖象與x軸的兩個交點為.利用根與系數關系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：

請你參考以上定理和結論，解答下列問題:

設二次函數的圖象與x軸的兩個交點為，拋物線的頂點為，顯然為等腰三角形.

（1）當為等腰直角三角形時，求

（2）當為等邊三角形時，求

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）12

【解析】⑴ 解：當為等腰直角三角形時，過作，垂足為，

　　　　　     　則                     ……2分 

　　　　　　∵拋物線與軸有兩個交點，∴，

　　　　　　  ∴            ……4分 

　　　　　　∵

　　　　　　又∵，

　　　　　　∵，

　　　　　　∴        ……6分 

　　　　　　∴

　　　　　　∴

　　　　　　   ∴      ……9分 

 　　　　　　⑵當為等邊三角形時，由（1）可知

            CD= AB……10分

            ∴  ……11分

            ∴b²-4ac=12……12分

（1）由于拋物線與x軸有兩個不同的交點，所以b²-4ac＞0；套用材料中的公式可求得線段AB的表達式，利用公式法可得到頂點C的縱坐標，進而求得斜邊AB上的高（設為CD），若△ABC為等腰直角三角形，那么AB=2CD，可根據這個等量關系求出b²-4ac的值．

（2）方法同（1），只不過AB、CD的等量關系為： AB=2CD．