Question

閱讀下面的題目及分析過程，再回答問題．
設x，y為正實數，且x+y=6，求

x2+1

+

y2+4

的最小值．分析：（1）如圖（1），作長為6的線段AB，過A、B兩點在同側各做AC⊥AB，BD⊥AB，使AC=1，BD=2．
（2）設P是AB上的一個動點．設PA=x，PB=y，則x+y=6，連接PC、PD，則PC=

x2+1

，PD=

y2+4

（3）只要在AB上找到使PC+PD為最小的點P的位置，就可以計算出

x2+1

+

y2+4

的最小值．問題：①在圖（2）中作出符合上述要求的點．
②求AP的長？
③通過上述作圖，計算當x+y=6時，

x2+1

+

y2+4

的最小值為

 

．
解決問題：
為了豐富學生的課余生活，石家莊外國語學校決定舉辦一次機器人投籃大賽．規則是：操縱者站在距線段AB 2米的C處，如圖（3）使機器人從A點出發，到C處取到籃球，然后行駛到B處，將籃球投入設在B處的籃筐內，用時少的即為勝利者，為了獲得勝利，請你畫出C的最佳位置；并求當AB=3米時機器人行駛的最短路程？

Answer 1

分析：①找出點C關于AB的對稱點C′，連接C′D于AB交于點P，即為PC+PD為最小時所求的點的位置；
②根據對稱，利用“SAS”證明△CAP≌△C′AP，得到∠APC′=∠APC，再根據對頂角相等和等量代換得到∠APC=∠CPB，又根據∠CAP=∠B=90°，由兩對對應角相等的兩三角形相似得到△APC∽△BPC，根據相似三角形的對應邊成比例即可求出AP的長；
③根據題中的分析和作圖可知：當x+y=6時，

x2+1

+

y2+4

的最小值為線段C′D的長，所以延長DB，過C′作C′E⊥DE，得到△DC′E為直角三角形，由CC′和C′E，根據勾股定理即可求出C′D的長；
解決問題：
作出點A關于l的對稱點A′，連接A′B交l于點C，故點C為所求的最佳位置，由作圖可知AA′的長，又AB的長，根據勾股定理即可求出A′B的長，求出AC+CB的最短距離，即為機器人走的最短距離．

解答：解：①延長線段CA，在延長線上截取AC′=AC，連接C′D于AB的交點即為點P，
此時CP+PD最短，∴點P為所求作的點；

②∵AC=AC′，∠CAP=∠C′AP=90°，AP=AP，
∴△CAP≌△C′AP，
∵∠APC′=∠APC，又∠APC′=∠DPB，
∴∠APC=∠DPB，又∠CAP=∠B=90°，
∴△APC∽△BPD，
∴

AC

BD

=

AP

BP

，即

AP

6-AP

=

1

2

，
解得：AP=2；

③根據題意可知：

x2+1

+

y2+4

的最小值為線段C′D的長，
延長DB，過C′作C′E⊥BD，垂足為點E，
則AC=AC′=BE=1，故DE=3，又C′E=x+y=6，
在直角三角形DC′E中，根據勾股定理得：C′D=

62+32

=3

5

，
∴當x+y=6時，

x2+1

+

y2+4

的最小值為3

5

；
解決問題：
根據題意，畫圖形如下：
過點A作直線l的垂線，以垂足為圓心，在直線l的上方找出點A關于l的對稱點A′，
連接A′B與直線l交于點C，此時AC=AC′，故AC+CB最短，∴點C為所求作的點，
由對稱可知AA′=4，又AB=3，
在直角三角形A′AB中，根據勾股定理得：AC+CB=A′C+CB=A′B=

42+32

=5米，
則機器人行駛的最短距離為5米．
故答案為：3

5

．

點評：此題綜合考查了對稱知識，三角形相似的判斷與性質，直角三角形的性質以及作圖的方法．作圖時得到的最短距離的原因是兩點之間線段最短．