Question

【題目】如圖所示，半圓O的直徑AB＝4，＝，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，連接CD，DB，OD．

（1）求證：△CDF≌△BDE；

（2）當AD＝　 　時，四邊形AODC是菱形；

（3）當AD＝　 　時，四邊形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）)2.

【解析】

（1）根據角平分線的性質，可得DF與DE的關系，根據圓周角定理，可得DC與DB的關系，再根據HL，即可證明；（2）根據菱形的性質，可得OD與CD，OD與BD的關系，根據等邊三角形的性質，可得∠DBA的度數，根據三角函數值，即可求解；(3)根據圓周角定理，可得OD⊥AB，根據勾股定理，即可求出AD的長.

(1)證明：∵，

∴CD＝BD，∠FAD＝∠BAD．

∵DF⊥AC，DE⊥AB，

∴DF＝DE，∠BED＝∠CFD＝90°.

在Rt△CFD和Rt△BED中，

∴△CDF≌△BDE(HL)．

(2)四邊形AODC是菱形時，

OD=CD=BD=OB,

∴∠DBA=60°，

∴AD=AB·sin∠DBA=4sin60°=2.

(3)當OD⊥AB，即OD與OE重合時，四邊形AEDF是正方形，

由勾股定理得

AD==2.