Question

【題目】如圖（1），在四邊形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AB⊥AD，點E在CD的延長線上，且∠BAC＝∠DAE．

（1）求證：AC＝AE；

（2）求證：CA平分∠BCD；

（3）如圖（2），設AF是△ABC的邊BC上的高，試求CE與AF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）EC＝2AF．

【解析】

（1）首先根據∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，得出∠ABC＝∠ADE，進而可判定△ABC≌△ADE（ASA），即可得出AC＝AE；

（2）由（1）中△ABC≌△ADE得出AC＝AE，∠BCA＝∠E，進而得出∠ACD＝∠E，∠BCA＝∠E＝∠ACD，即可判定CA平分∠BCD；

（3）首先過點A作AM⊥CE，由角平分線的性質得出AF＝AM，然后由∠BAC＝∠DAE，得出∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，再由AC＝AE，∠CAE＝90°，得出∠ACE＝∠AEC＝45°，由AM⊥CE，得出∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，進而得出CM＝AM＝ME，又由AF＝AM，即可得出EC＝2AF．

（1）證明：如圖（1），∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠ABC＝∠ADE，

在△ABC與△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（ASA）

∴AC＝AE．

（2）證明：如圖（1），∵△ABC≌△ADE，

∴AC＝AE，∠BCA＝∠E，

∴∠ACD＝∠E，

∴∠BCA＝∠E＝∠ACD，

即CA平分∠BCD；

（3）解：EC＝2AF．證明如下：

如圖（2），過點A作AM⊥CE，垂足為M，

∵AM⊥CD，AF⊥CF，∠BCA＝∠ACD，

∴AF＝AM，

又∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°，

∵AC＝AE，∠CAE＝90°，

∴∠ACE＝∠AEC＝45°，

∵AM⊥CE，

∴∠ACE＝∠CAM＝∠MAE＝∠E＝45°，

∴CM＝AM＝ME，

又∵AF＝AM，

∴EC＝2AF．