Question

如圖，已知拋物線經過A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線l，l與x軸交于點H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；
（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個動點（ E與A、D不重合），過E點作平行于y軸的直線交拋物線于點F，交x軸于點G，設點E的橫坐標為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數關系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點E的坐標； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過A（－3，0），B（1，0），
∴可設拋物線交點式為。
又∵拋物線經過C（0，3），∴。
∴拋物線的解析式為：，即。
（2）∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，且BC是定值。
∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小。
∵點A、點B關于對稱軸I對稱，
∴連接AC交l于點P，即點P為所求的點。

∵AP=BP，∴△PBC的周長最小是：PB+PC+BC=AC+BC。
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=。
∴△PBC的周長最小是：。
（3）①∵拋物線頂點D的坐標為（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直線AD的解析式為y=2x+6
∵點E的橫坐標為m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴。
∴。
∴S與m的函數關系式為。
②，
∴當m=﹣2時，S最大，最大值為1，此時點E的坐標為（﹣2，2）。

解析