Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（﹣1，0），B（4，），點D是拋物線A、B兩點間部分上的一個動點（不與點A、B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+(2) C（ ， ）

【解析】分析: （1）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式，求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）設直線AB為：y=kx+b．將A、B的坐標代入可得到k，b的方程組，從而可求得k，b于是得到直線AB的解析式，記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F．設D（m，﹣m2+2m+）則C（m，m+），依據三角形的面積公式可得到S與m的函數關系式，接下來由拋物線的對稱軸方程，可求得m的值，于是可得到點C的坐標．

詳解:

（1）∵由題意得,解得：，

∴y=﹣x2+2x+．

（2）設直線AB為：y=kx+b．則，解得

直線AB的解析式為y=+．

如圖所示：記CD與x軸的交點坐標為E．過點B作BF⊥DC，垂足為F．

設D（m，﹣m2+2m+）則C（m，m+）．

∵CD=（﹣m2+2m+）﹣（m+）=m2+m+2，

∴S=AEDC+CDBF=CD（AE+BF）=DC=m2+m+5．

∴S=m2+m+5．

∵﹣＜0，

∴當m=時，S有最大值．

∴當m=時，m+=×+=．

∴點C（，）．

點睛: 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、三角形的面積公式、二次函數的性質，用含m的式子表示出CD的長，從而得到S與m的關系式是解題的關鍵．