Question

【題目】折紙是一種許多人熟悉的活動．近些年，經過許多人的努力，已經找到了多種將正方形折紙的一邊三等分的精確折法，下面探討其中的一種折法：

（綜合與實踐）

操作一：如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合，再將正方形紙片ABCD展開，得到折痕MN；

操作二：如圖2，將正方形紙片ABCD的右上角沿MC折疊，得到點D的對應的點為D′；

操作三：如圖3，將正方形紙片ABCD的左上角沿MD′折疊再展開，折痕MD′與邊AB交于點P；

（問題解決）

請在圖3中解決下列問題：

（1）求證：BP＝D′P；

（2）AP：BP＝　 　；

（拓展探究）

（3）在圖3的基礎上，將正方形紙片ABCD的左下角沿CD′折疊再展開，折痕CD′與邊AB交于點Q．再將正方形紙片ABCD過點D′折疊，使點A落在AD邊上，點B落在BC邊上，然后再將正方形紙片ABCD展開，折痕EF與邊AD交于點E，與邊BC交于點F，如圖4．試探究：點Q與點E分別是邊AB，AD的幾等分點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2：1；（3）點Q是AB邊的四等分點，點E是AD邊的五等分點，理由見解析

【解析】

（1）如圖1，連接PC，根據正方形的性質、HL定理證明△CD′P≌△CBP，根據全等三角形的性質得出結論；

（2）設BP＝x，根據翻轉變換的性質、勾股定理列出方程，解方程即可；

（3）如圖2，連接QM，證明Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），得到AQ＝D′Q，設正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y，根據勾股定理列出方程，解方程即可．

（1）證明：如圖1，連接PC．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，

∴∠MD′C＝∠D＝90°，

∴∠CD′P＝∠B＝90°，

在Rt△CD′P和Rt△CBP中，

，

∴Rt△CD′P≌Rt△CBP（HL），

∴BP＝D′P；

（2）解：設正方形紙片ABCD的邊長為1．則AM＝DM＝D′M＝．

設BP＝x，則MP＝MD′+D′P＝DM+BP＝+x，AP＝1﹣x，

在Rt△AMP中，根據勾股定理得AM2+AP2＝MP2．

∴（）2+（1﹣x）2＝（+x）2，

解得x＝，

∴BP＝，AP＝，

∴AP：BP＝2：1，

故答案為：2：1．

（3）解：點Q是AB邊的四等分點，點E是AD邊的五等分點．

理由：如圖2，連接QM．

∴∠QD′M＝180°﹣∠MD′C＝90°，

∴∠QD′M＝∠A＝90°．

在Rt△AQM和Rt△D′QM中，

，

∴Rt△AQM≌Rt△D′QM（HL），

∴AQ＝D′Q，

設正方形ABCD的邊長為1，AQ＝QD′＝y，

則QP＝AP﹣AQ＝﹣y．

在Rt△QPD′中，根據勾股定理得QD′2+D′P2＝QP2．

∵D′P＝BP＝，

∴y2+（）2＝（﹣y）2，

解得y＝．

∴AQ：AB＝1：4，即點Q是AB邊的四等分點，

∵EF∥AB，

∴，即，

解得AE＝．

∴點E為AD的五等分點．