Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分別為CA，CB上一點，CE＝CF，M，N分別為AF，BE的中點，求證：AE＝MN.

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：取AB的中點H，連接MH、NH，根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得NH=AE，NH∥AE，MH=BF，MH∥BF，再求出AE=BF，∠MHN=90°，判斷出△MNG是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得NH=MN，再表示出AE即可得證．

試題解析：如圖，取AB的中點H，連接MH，NH，則MH＝BF，

NH＝AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.∴MH＝NH.

∵點M，N，N分別為AF，AB，BE的中點，

∴MH∥BF，NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－(∠AHM＋∠BHN)＝180°－(∠ABC＋∠BAC)＝90°.∴NH＝MN.

∴AE＝2NH＝2×MN＝ MN.