Question

已知拋物線y=px²+x+q（pq≠0）與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于點C，問△ABC能否成為直角三角形？如果能，請給出pq應滿足的條件，并加以證明；如果不能，請說明理由．

Answer 1

當pq=-1時，能成為直角三角形．
理由：∵拋物線y=px²+x+q（pq≠0）與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），
∴AB=|x₁-x₂|，
∴x₁+x₂=-

1

p

，x₁•x₂=

q

p

，
假設△ABC能構成為直角三角形，則x₁•x₂＜0，即

q

p

＜0，
由拋物線y=px²+x+q（pq≠0）可知，C點的坐標為（0，q），
∴AC²+BC²=AB²，即x₁²+2q²+x₂²=（x₁-x₂）²，q²=-x₁•x₂=-

q

p

，
∵

q

p

＜0，
∴-

q

p

＞0，
∴q²=-x₁•x₂=-

q

p

有意義，
∴pq=-1．
故能構成為直角三角形，應滿足pq=-1．