Question

【題目】已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．

①求證：BE=CF；

②若AF=5，BC=6，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）16．

【解析】試題分析：①連接CD，根據垂直平分線性質可得BD=CD，可證Rt△BDE≌Rt△CDF，可得BE=CF；

②根據Rt△ADE≌Rt△ADF得出AE=AF解答即可．

試題解析：①證明：連結CD，

∵D在BC的中垂線上，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE=DF，∠BED=∠DCF=90°，

在RT△BDE和RT△CDF中，DE=DF，BD=CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴BE=CF；

②解：由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE=AF=5，

∴△ABC的周長=AB+BC+AC=（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）=5+6+5=16．