Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，在坐標平面內找一點G，使以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似，請直接寫出符合要求的，并在第一象限的點G的坐標；
（3）將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），把C的坐標代入即可求出a的值，再化成頂點式即可；
（2）求出E點坐標，過C作CG∥x軸交BF于G，根據C的坐標求出G的坐標；當是（4，4）時兩三角形全等即相似，當是（8，8）時符合相似三角形的判定，即兩三角形相似．綜合上述共有3個點；
（3）拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m，把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1．
∴y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
頂點D（1，9）；

（2）∵C（0，8），D（1，9）；
代入直線解析式y=kx+b，
∴

b=8 k+b=9

，
解得：

k=1 b=8

，
∴y=x+8，
∴E點坐標為：（-8，0），
∵B（4，0），
∴x=4時，y=4+8=12，
∴F點坐標為：（4，12），
∴EO=8，
如圖1，作CG∥x軸交BF于G，
∵CG∥EO，
∴△FCG∽△CEO，
∵EO=CO，
∴CG=FG，
∴G（4，8），
如圖2，當G點坐標為（4，4）時，兩三角形全等即相似，
如圖3，當G點坐標為（8，8）時符合相似三角形的判定，
故以點G、F、C為頂點的三角形與△COE相似的第一象限的點G的坐標為：G（4，8），G（8，8），G（4，4）；

（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當x=-8時，y=-72+m．
當x=4時，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72個單位長．

點評：本題主要考查了二次函數圖象與系數的特征，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點，解此題的關鍵是綜合運用性質進行計算，此題綜合性強，有一定的難度．