Question

【題目】將長(zhǎng)為1，寬為a的長(zhǎng)方形紙片（＜a＜1）如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長(zhǎng)方形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形為正方形，則操作終止．

（1）第一次操作后，剩下的矩形兩邊長(zhǎng)分別為 ；（用含a的代數(shù)式表示）

（2）若第二次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰好是正方形，則a= ；

（3）若第三次操作后，剩下的長(zhǎng)方形恰好是正方形，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1﹣a；（2）a=；（3）a的值為或；

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)所給的圖形可以看出每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬，再根據(jù)長(zhǎng)為1，寬為a的長(zhǎng)方形即可得出剩下的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬；

（2）再根據(jù)（1）所得出的原理，得出第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1﹣a，即可求出第二次操作以后剩下的矩形的兩邊的長(zhǎng)分別是1﹣a和2a﹣1，并且剩下的長(zhǎng)方形恰好是正方形，即可求出a的值；

（3）根據(jù)（2）所得出的長(zhǎng)方形兩邊長(zhǎng)分別是1﹣a和2a﹣1，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)1﹣a＞2a﹣1時(shí)，第三次操作后，剩下的長(zhǎng)方形兩邊長(zhǎng)分別是（1﹣a）﹣（2a﹣1）和2a﹣1；②當(dāng)1﹣a＜2a﹣1時(shí)，第三次操作后，剩下的長(zhǎng)方形兩邊長(zhǎng)分別是（2a﹣1）﹣（1﹣a）和1﹣a，并且剩下的長(zhǎng)方形恰好是正方形，即可求出a的值．

解：（1）∵長(zhǎng)為1，寬為a的長(zhǎng)方形紙片（＜a＜1），

∴第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為a，寬為1﹣a；

（2）∵第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1，

此時(shí)矩形恰好是正方形，

∴1﹣a=2a﹣1，

解得a=；

（3）第二次操作后，剩下矩形的兩邊長(zhǎng)分別為：1﹣a與2a﹣1．

①當(dāng)1﹣a＞2a﹣1時(shí)，

由題意得：（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2a﹣1，

解得：．

當(dāng)時(shí)，1﹣a＞2a﹣1．所以，是所求的一個(gè)值；

②當(dāng)1﹣a＜2a﹣1時(shí)，

由題意得：（2a﹣1）﹣（1﹣a）=1﹣a，

解得：．

當(dāng)時(shí)，1﹣a＜2a﹣1．所以，是所求的一個(gè)值；

所以，所求a的值為或；

故答案為（1）a與1﹣a；（2）．