Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點D運動，點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

（1）當t為多少時，四邊形ABQP成為矩形？

（2）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由，并探究如何改變Q點的速度（勻速運動），使四邊形PBQD在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

Answer 1

【答案】（1）t=s；（2）2cm/s.

【解析】

試題分析：（1）因為∠B=90°，AP∥BQ，由矩形的判定可知當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形；

（2）因為PD∥BQ，當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形，先由PD=BQ求出運動時間t的值，再代入求BP，發現BP≠PD，判斷此時四邊形PBQD不能成為菱形；設Q點的速度改變為vcm/s時，四邊形PBQD在時刻t為菱形，根據PD=BQ=BP列出關于v、t的方程組，解方程組即可求出點Q的速度．

試題解析：（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，

∴當AP=BQ時，四邊形ABQP成為矩形，

此時有t=22-3t，解得t=．

∴當t=s時，四邊形ABQP成為矩形；

（2）四邊形PBQD不能成為菱形．理由如下：

∵PD∥BQ，

∴當PD=BQ=BP時，四邊形PBQD能成為菱形．

由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，

當t=3時，PD=BQ=13，BP=，

∴四邊形PBQD不能成為菱形；

如果Q點的速度改變為vcm/s時，能夠使四邊形PBQD在時刻ts為菱形，

由題意，得，解得．

故點Q的速度為2cm/s時，能夠使四邊形PBQD在某一時刻為菱形．