Question

（2012•蘇州）如圖，已知拋物線y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．
（1）點B的坐標為

（b，0）

，點C的坐標為

（0，

b

4

）

（用含b的代數式表示）；
（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，即y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

=0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；
（2）存在，先假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．設點P的坐標為（x，y），連接OP，過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，利用已知條件證明△PEC≌△PDB，進而求出x和y的值，從而求出P的坐標；
（3）存在，假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可．

解答：解：（1）令y=0，即y=

1

4

x²-

1

4

（b+1）x+

b

4

=0，
解得：x=1或b，
∵b是實數且b＞2，點A位于點B的左側，
∴點B的坐標為（b，0），
令x=0，
解得：y=

b

4

，
∴點C的坐標為（0，

b

4

），
故答案為：（b，0），（0，

b

4

）；

（2）存在，
假設存在這樣的點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．
設點P的坐標為（x，y），連接OP．
則S_{四邊形PCOB}=S_△PCO+S_△POB=

1

2

•

b

4

•x+

1

2

•b•y=2b，
∴x+4y=16．
過P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．
∴四邊形PEOD是矩形．
∴∠EPD=90°．
∴∠EPC=∠DPB．
∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．
由

x=y x+4y=16

解得

x= 16 5 y= 16 5

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即

16

5

-

b

4

=b-

16

5

，
解得b=

128

25

＞2符合題意．
∴P的坐標為（

16

5

，

16

5

）；

（3）假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此時∠OQB=90°，
由QA⊥x軸知QA∥y軸．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）當∠OCQ=90°時，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=

b

4

．
由AQ²=OA•AB得：（

b

4

）²=b-1．
解得：b=8±4

3

．
∵b＞2，
∴b=8+4

3

．
∴點Q的坐標是（1，2+

3

）．
（II）當∠OQC=90°時，△OCQ∽△QOA，
∴

OQ

CO

=

AQ

QO

，即OQ²=OC•AQ．
又OQ²=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即

b

4

•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意，
∴點Q的坐標是（1，4）．
∴綜上可知，存在點Q（1，2+

3

）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．

點評：此題是一道綜合題，難度較大，主要考查二次函數的性質，全等三角形的判定和性質，以及相似三角形的判定和性質，還考查等腰三角形的性質及勾股定理，同時還讓學生探究存在性問題，對待問題要思考全面，學會分類討論的思想．