Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的頂點C和E分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，OC=8，OE=17，拋物線y= x2﹣3x+m與y軸相交于點A，拋物線的對稱軸與x軸相交于點B，與CD交于點K．

（1）將矩形OCDE沿AB折疊，點O恰好落在邊CD上的點F處．
①點B的坐標為（、），BK的長是 ， CK的長是；
②求點F的坐標；
③請直接寫出拋物線的函數表達式；
（2）將矩形OCDE沿著經過點E的直線折疊，點O恰好落在邊CD上的點G處，連接OG，折痕與OG相交于點H，點M是線段EH上的一個動點（不與點H重合），連接MG，MO，過點G作GP⊥OM于點P，交EH于點N，連接ON，點M從點E開始沿線段EH向點H運動，至與點N重合時停止，△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2 ， 在點M的運動過程中，S1S2（即S1與S2的積）的值是否發生變化？若變化，請直接寫出變化范圍；若不變，請直接寫出這個值．

Answer 1

【答案】
（1）10,0,8,10
（2）解：不變．S1S2=289．

理由：如圖2中，

在Rt△EDG中，∵GE=EO=17，ED=8，

∴DG= = =15，

∴CG=CD﹣DG=2，

∴OG= = =2 ，

∵GP⊥OM，MH⊥OG，

∴∠NPN=∠NHG=90°，

∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM，

∴∠HGN=∠NMP，

∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM，

∴△GHN∽△MHG，

∴ = ，

∴GH2=HNHM，

∵GH=OH= ，

∴HNHM=17，

∵S1S2= OGHN OGHM=（ ×2 ）217=289

【解析】S1S2解：（1）如圖1中，

①∵拋物線y= x2﹣3x+m的對稱軸x=﹣ =10，

∴點B坐標（10，0），

∵四邊形OBKC是矩形，

∴CK=OB=10，KB=OC=8，

故答案分別為10，0，8，10．

②在Rt△FBK中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8，

∴FK= =6，

∴CF=CK﹣FK=4，

∴點F坐標（4，8）．

③設OA=AF=x，

在Rt△ACF中，∵AC2+CF2=AF2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

∴x=5，

∴點A坐標（0，5），

代入拋物線y= x2﹣3x+m得m=5，

∴拋物線為y= x2﹣3x+5．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對矩形的性質的理解，了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．