Question

【題目】已知O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如圖①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數．

（2）在圖①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度數（用含α的代數式表示）．

（3）將圖①中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置，且保持射線OC在直線AB上方，在整個旋轉過程中，當∠AOC的度數是多少時，∠COE=2∠DOB．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）α；（3）60°或108°

【解析】

（1）根據平角的定義即可求出∠BOC，然后根據直角的定義和角平分線的定義即可求出∠DOE；

（2）根據平角的定義即可求出∠BOC，然后根據直角的定義和角平分線的定義即可求出∠DOE；

（3）設∠AOC=α，根據角平分線的定義即可求出∠COE，然后根據OD與直線AB的相對位置分類討論，分別畫出對應的圖形，再用α表示出∠DOB即可列出方程，求出結論．

解：（1）由已知得∠BOC＝180°－∠AOC＝150°

又∵∠COD是直角，OE平分∠BOC

∴∠DOE＝∠COD－∠COE=∠COD－∠BOC＝90°－×150°＝15°

（2）由已知得∠BOC＝180°－∠AOC

由(1)知∠DOE＝∠COD－∠BOC，

∴∠DOE＝90°－ (180°－∠AOC)＝∠AOC＝α

（3）設∠AOC=α，則∠BOC=180°﹣α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=×（180°﹣α）=90°﹣α

分兩種情況：

當OD在直線AB上方時，∠BOD=90°﹣α，

∵∠COE=2∠DOB，

∴90°﹣α=2（90°﹣α），

解得α=60°

當OD在直線AB下方時，∠BOD=90°﹣（180°﹣α）=α﹣90°，

∵∠COE=2∠DOB，

∴90°﹣α=2（α﹣90°），

解得α=108°．

綜上所述，當∠AOC的度數是60°或108°時，∠COE=2∠DOB．