Question

【題目】如圖1，已如直線∥，且與、分別交于A、B兩點，與、分別交于C、D兩點，記∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3，點P在線段AB上.

(1)若∠1=25°，∠2=33°，則∠3=__________；

(2)猜想∠1，∠2，∠3之間的相等關系，并說明理由；

(3)如圖2，點在點B的南偏東23°方向，在點C的西南方向，利用(2)的結論，可知∠BAC=__________；

(4)點P在直線上且在A、B兩點外側運動時，其它條件不變，請直接寫出∠1，∠2，∠3之間的相等關系.

Answer 1

【答案】(1)58°；(2)∠1+∠2=∠3，理由見解析；(3)68°；(4)當點P在直線上且在上方運動時，∠1+∠3=∠2 ，當點P在直線上且在上方運動時，∠2+∠3=∠1

【解析】

（1）根據平行線的性質和三角形內角和定理即可求解；（2）∠1+∠2=∠3，作PQ∥，可得PQ∥∥，由平行線的性質可得∠1=∠CPQ，∠2=∠DPQ，即可得∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠1+∠2；（3）過A點作AF∥BE，則AF∥BE∥CD，即可得∠BAC=∠EBA+∠ACD=23°+45°=68°；（4）分當點P在直線上且在上方運動時和點P在直線上且在的下方運動時兩種情況，類比（2）的方法求解即可.

（1）∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠3=∠1+∠2=58°，

故答案為：58°；

(2)∠1+∠2=∠3

理由如下：

作PQ∥

∵∥，所以PQ∥∥(平行公理的推論)

∴∠1=∠CPQ，∠2=∠DPQ(兩直線平行，內錯角相等).

又∵∠CPD=∠CPQ+∠DPQ，

∴∠1+∠2=∠CPD(等量代換)；

(3) 過A點作AF∥BE，則AF∥BE∥CD，

則∠BAC=∠EBA+∠ACD=23°+45°=68°；

故答案為：68°；

(4)當點P在直線上且在上方運動時，∠1+∠3=∠2 ，

如圖，過P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1=∠FPC．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠2=∠FPD.

∵∠FPD = ∠FPC + ∠CPD,

∴∠2=∠3+∠1．

當點P在直線上且在的下方運動時，∠2+∠3=∠1,

過P作PG∥l2，交l4于G，
∴∠2=∠GPC，

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1=∠DPG，

∵∠CPD+∠CPG=∠GPD,

∴∠1=∠2+∠3．