Question

（1997•吉林）已知：直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限內作正三角形ABC，⊙O′為△ABC的外接圓，與x軸交于另一點E．
（1）求C點坐標．
（2）求過點C與AB中點D的一次函數的解析式．
（3）求過E、O′、A三點的二次函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點求出A、B兩點的坐標，在Rt△ABO中，根據勾股定理求出AB的長，故可得出tan∠BAO的值，可得出∠BAO的度數，判斷出△ABC的形狀，由平行線的判定定理得出CA∥OB，由此即可得出C點坐標；
（2）過D作DF∥OB，交OA于F，由點D是AB的中點可求出D點坐標，設過C、D兩點的一次函數解析式為y=kx+b（k≠0），再把C、D兩點的坐標代入即可求出此函數的解析式；
（3）過點B作BH⊥AC于點H，根據△ABC是等邊△，可知BH是AC的垂直平分線，BH過點O′，故點B與點O′
的縱坐標相等，故可得出O′的坐標，再由CA∥BO，BH⊥AC可知BH⊥OB且過⊙O′半徑的外端，故可得出OB是⊙O′的切線，由切線長定理可得OB²=OE•OA，進而可求出OE的長，故可得出E點坐標，
設過E、O′、A三點的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），將三點坐標代入即可求出abc的值，故可得出結論．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

3

x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（

3

，0），B（0，1），
在Rt△ABO中，
∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴tan∠BAO=

1

3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等邊三角形
∴AC=AB=2，∠BAC=60°，
∴∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C點坐標為（

3

，2）；

（2）∵D是AB的中點，過D作DF∥OB，交OA于F，
則DF=

1

2

OB=

1

2

，OF=

1

2

OA=

3

2

∴D點坐標為（

3

2

，

1

2

），
設過C、D兩點的一次函數解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3 k+b=0 3 2 k+b= 1 2

，解得

k= 3 b=-1

，
∴所求一次函數的解析式為y=

3

x-1；

（3）過點B作BH⊥AC于點H，
∵△ABC是等邊△，
∴BH是AC的垂直平分線，
∴BF過點O′，
∵B（0，1），
∴當y=1時，x=

2 3

3

∴O′（

2 3

3

，1），
∵CA∥BO，BH⊥AC，
∴BH⊥OB，且過⊙O′半徑的外端，
∴OB是⊙O′的切線，
∴OB²=OE•OA，即1=OE•

3

，解得OE=

3

3

，
∴E（

3

3

，0），
設過E、O′、A三點的拋物線為y=ax2+bx+c，將三點坐標代入得

3a+ 3 b+c=0 4 3 a+ 2 3 b 3 +c=1 1 3 a+b+c=0

解得

a=-3 b=4 3 c=-3

∴所求二次函數的解析式為y=-3x²+4

3

x-3．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到等邊三角形的判定與性質、切線的判定與性質、用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式等知識，難度適中．