Question

【題目】已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點，點P在直線AB上運動(不與A、B兩點重合)．

(1)如圖1，當點P在線段AB上運動時，總有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，請說明理由；

(2)如圖2，當點P在線段AB的延長線上運動時，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間有怎樣的數量關系，并說明理由；

(3)如圖3，當點P在線段BA的延長線上運動時，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間又有怎樣的數量關系(只需直接給出結論)？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．理由見解析；（3）∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．

【解析】

（1）過點P作a的平行線，根據平行線的性質進行求解；

（2）過點P作b的平行線PE，由平行線的性質可得出a∥b∥PE，由此即可得出結論；

（3）設直線AC與DP交于點F，由三角形外角的性質可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行線的性質即可得出結論．

（1）證明：如圖1，過點P作PE∥a，則∠1=∠CPE．

∵a∥b，PE∥a，

∴PE∥b，

∴∠2=∠DPE，

∴∠3=∠1+∠2，

即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．

理由：如圖2，過點P作PE∥b，則∠2=∠EPD，

∵直線a∥b，

∴a∥PE，

∴∠1=∠EPC，

∵∠3=∠EPC-∠EPD，

∴∠3=∠1-∠2，

即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．

證明：如圖3，設直線AC與DP交于點F，

∵∠PFA是△PCF的外角，

∴∠PFA=∠1+∠3，

∵a∥b，

∴∠2=∠PFA，

∴∠2=∠1+∠3，

∴∠3=∠2-∠1，

即∠CPD=∠PDB-∠PCA．