Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC平分∠DAB交⊙O于點C，過點C的直線垂直于AD交AB的延長線于點P，弦CE交AB于點F，連接BE．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若PC＝PF，試證明CE平分∠ACB．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）連接OC，如圖，先證明∠2=∠3得到OC∥AD，然后利用平行線的性質得到OC⊥CD，從而根據切線的判定定理得到PD是⊙O的切線；

（2）先證明∠1=∠PCB，再根據等腰三角形的性質得∠PCF=∠PFC，然后利用∠PCF=∠PCB+∠BCF，∠PFC=∠1+∠ACF，從而可判斷∠BCF=∠ACF．

證明：（1）連接OC，如圖，

∵AC平分∠DAB，

∴∠1＝∠2，

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴PD是⊙O的切線；

（2）∵OC⊥PC，

∴∠PCB+∠BCO＝90°，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠3+∠BCO，

∴∠3＝∠PCB，

而∠1＝∠3，

∴∠1＝∠PCB，

∵PC＝PF，

∴∠PCF＝∠PFC，

而∠PCF＝∠PCB+∠BCF，∠PFC＝∠1+∠ACF，

∴∠BCF＝∠ACF，

即CE平分∠ACB．