Question

如圖1，將等腰梯形ABCD的一條對角線BD平移到CE的位置，△CAE是等腰三角形嗎？為什么？
如圖2，△ABC是由四個全等三角形△ADF、△EFD、△DBF、△FEC拼成的，圖中有平行四邊形嗎？如果有，請寫出這些平行四邊形并說明理由．
如圖3，如果矩形ABCD和矩形AB′C′D′關于點A對稱，那么四邊形BDB′D′是菱形嗎？如果是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）△CAE是等腰三角形．
∵CE是由BD平移得到，
∴CE∥BD，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB∥CD，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∴BD=CE，
∵AC=BD，
∴AC=CE，
∴△CAE是等腰三角形．

（2）有平行四邊形，分別是：?BEFD，?ADEF，?DECF．
∵△DBE≌△EFD，
∴BD=EF，BE=DF，
∴四邊形BEFD是平行四邊形．
同理：四邊形ADEF是平行四邊形，四邊形DECF是平行四邊形．

（3）是菱形．
∵矩形ABCD和矩形AB′C′D′關于點A對稱，
∴AB=AB′，AD=AD′，
∵∠BAD=B′AD′=90°，
∴四邊形BDB′D′是菱形．
分析：（1）根據平移的性質可得到CE∥BD，由已知可得AB∥CD，從而可根據兩組邊分別平行的四邊形是平行是四邊形，由平行四邊形的性質可得BD=CE，由等腰梯形的對角線相等可得AC=BD，從而可推出AC=CE，即△CAE是等腰三角形．
（2）有平行四邊形，試證四邊形BEFD是平行四邊形．可根據全等三角形的對應邊相等得到BD=EF，BE=DF，再根據兩組邊分別相等的四邊形是平行四邊形證得，同理可證得其他平行四邊形．
（3）根據中心對稱的性質可得到AB=AB′，AD=AD′，由矩形的性質可得∠BAD=B′AD′=90°，從而根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形判定即可．
點評：此題主要考查等腰梯形的性質，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定等知識點的綜合運用．