Question

如圖，在直角坐標平面內，函數y=

m

x

（x＞0，m是常數）的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當AD=BC時，求直線AB的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）由函數y=

m

x

（x＞0，m是常數）的圖象經過A（1，4），可求m=4，由已知條件可得B點的坐標為（a，

4

a

），又由△ABD的面積為4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，得a=3，所以點B的坐標為（3，

4

3

）；
（2）依題意可證，

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1，

BE

DE

=

AE

CE

，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，當AD=BC時，有兩種情況：①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點B的坐標是
（2，2），設直線AB的函數解析式為y=kx+b，用待定系數法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點B的坐標是（4，1），設直線AB的函數解析式
y=kx+b，用待定系數法可以求出解析式（把點A，B的坐標代入），是y=-x+5．

解答：（1）解：∵函數y=

m

x

（x＞0，m是常數）圖象經過A（1，4），
∴m=4．
∴y=

4

x

，
設BD，AC交于點E，據題意，可得B點的坐標為（a，

4

a

），D點的坐標為（0，

4

a

），E點的坐標為（1，

4

a

），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-

4

a

．
由△ABD的面積為4，即

1

2

a（4-

4

a

）=4，
得a=3，
∴點B的坐標為（3，

4

3

）；

（2）證明：據題意，點C的坐標為（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=

4

a

，BE=a-1，
∴

BE

DE

=

a-1

1

=a-1，

AE

CE

=

4- 4 a

4 a

=a-1．
∴

BE

DE

=

AE

CE

且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）解：∵DC∥AB，
∴當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，

BE

DE

=

AE

CE

=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴點B的坐標是（2，2）．
設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，
得

4=k+b 2=2k+b

，
解得

k=-2 b=6

．
故直線AB的函數解析式是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，
∴a=4，
∴點B的坐標是（4，1）．
設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，
得

4=k+b 1=4k+b

，
解得

k=-1 b=5

，
故直線AB的函數解析式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

點評：本題要注意利用一次函數和反比例函數的特點，列出方程，求出未知數的值，用待定系數法從而求得其解析式．
主要是注意分類討論和待定系數法的運用，需學生熟練掌握．