Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2的對稱軸是直線x=1，與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣2，0），點P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線BC于點E．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點P在第一象限內，當OD=4PE時，求四邊形POBE的面積；

（3）在（2）的條件下，若點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標系內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2；(2);(3) 當N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形．

【解析】試題分析：（1）由拋物線的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，于是列方程即可得到結論；

（2）根據函數解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式，設D（m，0），得到E（m，），P（m，），根據已知條件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D，P，E的坐標，根據三角形的面積公式即可得到結論；

（3）設M（n，），①以BD為對角線，根據菱形的性質得到MN垂直平分BD，求得n的值，于是得到N的坐標；②以BD為邊，根據菱形的性質得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，過M作MH⊥x軸于H，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=1，A（﹣2，0）在拋物線上，

∴，解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）令=0，解得：x1=﹣2，x2=4，當x=0時，y=﹣2，

∴B（4，0），C（0，﹣2），設BC的解析式為y=kx+b，則：，解得：，

∴ ，

設D（m，0），∵DP∥y軸，

∴E（m，），P（m，），

∵OD=4PE，

∴m=4（﹣）

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，設M（n，），

①以BD為對角線，如圖1，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+=，

∴M（，），

∵M，N關于x軸對稱，

∴N（，﹣）；

②以BD為邊，如圖2，

∵四邊形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+DH2=DM2，即，

∴n1=4（不合題意），n2=5.6，

∴N（4.6，），同理，

∴n1=（不合題意，舍去），n2=，

∴N（，）；

③以BD為邊，如圖3，過M作MH⊥x軸于H，

∴MH2+BH2=BM2，即，

∴n1=，n2=（不合題意，舍去），

∴N（，）．

綜上所述，當N（，﹣）或（4.6，）或（，）或（，），以點B，D，M，N為頂點的四邊形是菱形．