Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式和頂點坐標；

（2）把（1）中所求出的拋物線記為C1，將C1向右平移m個單位得到拋物線C2，C1與C2的在第一象限交點為M，過點M作MK于K，MG⊥x軸于點G，交線段AC于點H，連接CM．

①求線段MK長度的最大值；

②當△CMH為等腰三角形時，求拋物線向右平移的距離m和此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；( （2）① ②當m＝1時，M（2，3）；當m＝5﹣2時，M．

【解析】

（1）利用點A，B的坐標得到拋物線的解析式，并將其整理成頂點式，即可得頂點坐標；

（2）①關鍵是證明∽得到MK=，化斜為直，只需MH長度最大時，MK長度最大，設M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2），MH長度的最大值轉化為二次函數的最值問題即可求解；

②△CMH為等腰三角形，分三種情況：（ⅰ）當CM＝CH時，（ii）當HC＝HM時,（iii）當CM＝HM時，分別利用其相應的幾何特征建立方程求解得到點M的坐標，代入平移后的解析式中求得m的值．

解：（1）當x＝0時，y＝ax2+bx+2＝2，

∴拋物線經過（0，2），

∵拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，

設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣4）（x+1），

把（0，2）代入得：2＝a（0﹣4）（0+1），

a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣x2++2＝﹣（x﹣）2+，

∴拋物線的表達式為：，頂點坐標是(

(2)①設直線AC的表達式為：y＝kx+b，

把A（4，0）、C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+2，

，

∽，

，

設M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2）由題知

MK==[﹣x2++2-(﹣x+2)]=[-]

當x=2時，MK最大等于

②∵△CMH為等腰三角形，分三種情況：

（ⅰ）當CM＝CH時，C是MH垂直平分線上的點，過點C作CP⊥MH，則MP=PH，

且由圖可知OC=PG=2

∴GH+GM=PG-PH+PG+MP=2PG=2OC

∴GH+GM＝4，

則﹣x2++2+（﹣x+2）＝4，解得：x1＝0（舍），x2＝2，

∴M（2，3），

設平移后的拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（2，3）代入得：m＝1．

（ⅱ）當HC＝HM時，HM＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，

CH2＝，CH＝，

∴＝﹣x2+2x，解得x1＝0（舍），x2＝4﹣，

∴M（4﹣，﹣），

設平移后的拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（4﹣，﹣）代入得：m1＝0（舍），m2＝5﹣2；

（ⅲ）當CM＝HM時，HM＝﹣x2+2x，CM2＝，

則＝， 解得x＝，

∴M（，），

設平移后的拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（，）代入得：m＝0（舍）；

綜上所述，當m＝1時，M（2，3）；當m＝5﹣2時，M（4﹣，﹣）．