Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點D是BC邊上的一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點E，且tan∠α=，有以下的結論：①△ADE∽△ACD；②當CD=9時，△ACD與△DBE全等；③△BDE為直角三角形時，BD為12或；④0＜BE≤，其中正確的結論是 （填入正確結論的序號）.

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：①∵∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD；
故①錯誤；
②作AG⊥BC于G，
∵∠ADE=∠B=α，tan∠α=，
∴，
∴，
∴cosα=，
∵AB=AC=15，
∴BG=12，
∴BC=24，
∵CD=9，
∴BD=15，
∴AC=BD．
∵∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∠ADE=∠C=α，
∴∠EDB=∠DAC，
在△ACD與△DBE中，
，
∴△ACD≌△BDE（ASA）．
故②正確；
③當∠BED=90°時，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠BED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且tan∠α=，AB=15，
∴
∴BD=12．
當∠BDE=90°時，易證△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠C=α且cosα=，AC=15，
∴cosC=，
∴CD=．
∵BC=24，
∴BD=24﹣=
即當△DCE為直角三角形時，BD=12或．
故③正確；
④易證得△BDE∽△CAD，由②可知BC=24，
設CD=y，BE=x，
∴，
∴，
整理得：y2﹣24y+144=144﹣15x，
即（y﹣12）2=144﹣15x，
∴0＜x≤，
∴0＜BE≤．
故④錯誤．
故正確的結論為：②③．
故答案為：②③．

①根據有兩組對應角相等的三角形相似即可證明；
②由CD=9，則BD=15，然后根據有兩組對應角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；
③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；
④依據相似三角形對應邊成比例即可求得．