Question

（2011•撫順一模）如圖1，在?ABCD中，AC、BD相交于點O，BM⊥直線AC于M，DN⊥直線AC于N．

（1）線段OM、ON有什么樣的數量關系？直接寫出結論；
（2）若直線AC繞點A旋轉到圖2的位置時，其它條件不變，線段OM、ON有什么樣的數量關系？請給予證明；
（3）若直線AC饒點A繼續旋轉，通過前面問題的解決你會發現什么規律？在備用圖中畫出一個與圖2不同位置的圖形，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形性質得出OD=OB，證△DON和△BOM全等即可推出答案；
（2）ON交BM于E，證△DNO和△BOE全等，推出OE=ON，根據直角三角形斜邊上的中線性質求出集；
（3）根據平行四邊形性質推出OD=OB，根據平行線分線段成比例定理求出NE=MN，根據線段垂直平分線定理求出集．

解答：解：（1）OM=ON．

（2）OM=ON，
理由是：∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴BM∥DN，
∴∠DNO=∠BEO，∠NDB=∠MBD
∵平行四邊形ABCD，
∴OD=OB，
在△DNO和△BEO中
∠DNO=∠BEO，∠NDB=∠MBD，OD=OB，
∴△DNO≌△BEO，
∴ON=OE，
∵∠BMN=90°，
∴OM=ON（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

（3）規律：AC繞A旋轉到任意位置均有OM=ON，
如圖所示：AC旋轉到AC′，過O作OE⊥AC′，
∵平行四邊形ABCD，
∴OD=OB，
∵DN⊥AC′，OE⊥AC′，BM⊥AC′，
∴DN∥OE∥BM，
∵DO=OB，
∴根據一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的相等也相等得出：NE=ME，
∴ON=OM．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定，平行四邊形性質，旋轉的性質，線段垂直平分線性質等知識點的應用，主要是通過作輔助線OE，證ON和OE的關系，進一步求出ON=OM．