Question

已知二次方程x²+ax+b=0有兩個連續的整數根，二次方程x²+bx+a=0有整數根，求a，b的值．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數根與有理根

專題：

分析：可設x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數），則2n+1=-a，n（n+1）=b，則方程x²+bx+a=0可以改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，分兩種情況：（1）若n≥0，則方程①有一正一負兩根；（2）若n≤-1，則方程①有兩個負整數根；進行討論即可得到a，b的值．

解答：解：設x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數），則2n+1=-a，n（n+1）=b，
則方程x²+bx+a=0可以改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，
（1）若n≥0，則方程①有一正一負兩根，
設其正整數根為m，則
m²+n（n+1）m-（2n+1）=0②，
即mn²+（m-2）n+（m²-1）=0，
∵n是整數，
∴△=（m-2）²-4m（m²-1）≥0，
整理為4m≤

4

m2

+1，
若m≥2，則上式不成立，故0＜m＜2，
則m=1，
將m=1代入方程②得n²-n=0，
解得n=0，1．
當n=0時，a=-1，b=0；
當n=1時，a=-3，b=2；
（2）若n≤-1，則方程①有兩個負整數根，
即△=n²（n+1）²+4（2n+1）應為完全平方數，且為偶數，
由于n≤-1，則n²（n+1）²+4（2n+1）＜[n（n+1）]²，
故n²（n+1）²+4（2n+1）≤[n（n+1）-2]²，
因此n²+3n≤0，即n=-3，-2，-1，
經檢驗，n=-2，-1時，方程①無實根，
當n=-3時，方程①為x²+6x+5=0，
其兩根為-1，-5，此時a=5，b=6，
綜合（1）（2）可知，a，b的值為-1，0或-3，2或5，6．

點評：考查了一元二次方程的整數根和有理根，關鍵是設x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數），則2n+1=-a，n（n+1）=b，將方程x²+bx+a=0改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，以及分類思想的應用．