Question

【題目】如圖，已知矩形OABC的一個頂點B的坐標是（8，4），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過OB的中點E，且與邊BC交于點D．

（1）求反比例函數的解析式和點D的坐標；

（2）求三角形DOE的面積；

（3）若過點D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線解析式．

Answer 1

【答案】(1) 反比例函數解析式為y=,點D的坐標為(2,4)；（2）三角形DOE的面積為6；

(3) y=-2x+8或y=x+.

【解析】

(1)根據中心對稱求出點E的坐標, 再代入反比例函數解析式求出k, 然后根據點D的縱坐標與點B的縱坐標相等代入求解即可得到點D的坐標;

(2) 根據點D的坐標求出BD的長, 再由點E是OB的中點可知,由此可得出結論;

(3) 設直線與x軸的交點為F, 根據點D的坐標求出CD, 再根據梯形的面積分兩種情況求出OF的長, 然后寫出點F的坐標, 再利用待定系數法求一次函數的解析式即可.

解：(1)矩形OABC的頂點B的坐標是(8,4), E是矩形ABCD 的對稱中心,

點E的坐標為(4,2),代入反比例函數解析式得=2, 解得k=8,

反比例函數解析式為y=

點D在邊BC上,點D的縱坐標為4,

y=4時, x=2,

點D的坐標為(2,4);

(2)D的坐標為(2,4),B(8,4),

BD=6, OC=4.

點E是OB的中點,

==6

(3) 如圖,

設直線與x軸的交點為F,矩形OABC的面積=84=32,

矩形OABC的面積分成3:5的兩部分,

梯形OFDC的面積為=12,或者=20

點D的坐標為(2,4),

若(2+OF)4=12,

解得OF=4,此時點F的坐標為(4,0),

若 (2+OF)4=20,

解得OF=8, 此時點F的坐標為(8,0),與A點重合，

當D(2,4),F(4,0)時,可得函數解析式為y=-2x+8

當D(2,4),F(8,0)時，可得函數解析式為y=x+

綜上所述,直線的解析式為y=-2x+8或y=x+.